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    2018多省联考备考:剩余问题的三种特例

    2018-04-18 14:17 辽宁人事考试网 来源:辽宁华图

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      一、余同问题:指一般剩余问题中的余数是相同的

      一个数除以a余x,除以b余x,除以c余x。因此,满足余同问题的数是n[a,b,c]+x,其中[a,b,c]表示a、b、c的最小公倍数。

      【例】三位数的自然数N满足:除以6余3,除以5余3,除以4余3,则符合条件的自然数N有几个?

      A.8  B.9  C.15  D.16

      解析:6=2×3,5=1×5,4=22,则6、5、4的最小公倍数为1×22×3×5=60,则60n+3,n=0、1、2、3…满足所有余数条件,因为N是三位数,则100≤60n+3<1000解得2≤n≤16则符合条件的数有16-2+1=15个,故答案为C。

      二、和同问题:指一般剩余问题中每组除数与余数的和相同

      一个数除以a余x,除以b余y,除以c余z,且a+x=b+y=c+z。因此,满足和同问题的数是n[a,b,c]+(a+x)。

      【例】一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有()。

      A.5个  B.6个  C.7个  D.8个

      解析:“除以5余2,除以4余3”是和同问题,则这个数是20n+7,n=0、1、2…;20n+7与“除以9余7”是余同问题,则这个数是180n+7,n=0、1、2…;又因为这个数是三位数,即100≤180n+7≤999,则n=1、2、3、4、5,故答案为A。

      三、差同问题:指一般剩余问题中每组除数与余数的差相同

      一个数除以a余x,除以b余y,除以c余z,且a-x=b-y=c-z。因此,满足差同问题的数是n[a,b,c]-(a-x)。

      【例】有一个自然数X,除以3的余数是2,除以4的余数是3,问X除以12的余数是多少?

      A.1  B.5  C.9  D.11

      解析:因为3-2=4-3=1,所以是差同问题。因为3和4的最小公倍数是12,则满足条件的X=12n-1,n=0、1、2…则X除以12的余数是-1+12=11,故答案为D。

      【例】自然数P满足下列条:P除以10的余数为9,P除以9的余数为8,P除以8的余数为7。如果100

      A.不存在  B.1个  C.2个  D.3个

      解析:因为10-9=9-8=8-7=1,所以是差同问题。10=2×5、9=32、8=23则10、9、8的最小公倍数是23×32×5=360,所以满足差同问题的自然数P=360n-1,n=1、2、3…又因为100<360n-1<1000,则满足条件的n=1,2,故答案为C。

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